Eksempler på induktion. Metode for matematisk induktion: eksempler på løsninger

Sand viden var altid baseret påetablering af regelmæssighed og bevis for dets sandhed under visse omstændigheder. For en så lang periode med eksistensen af ​​logisk ræsonnement blev reglerne formuleret, og Aristoteles udarbejdede endog en liste over "korrekt begrundelse". Historisk set er det almindeligt at opdele alle konklusioner i to typer - fra konkret til flertal (induktion) og omvendt (fradrag). Det skal bemærkes, at typer af beviser fra den private til den generelle og fra den generelle til den særlige eksisterer kun i forholdet og kan ikke anvendes ombytteligt.

Induktion i matematik

Udtrykket "induktion" har latinrødder og bogstaveligt oversættes som "vejledning". Med tæt studie kan vi skelne strukturen af ​​ordet, nemlig latinske præfiks - in- (betegner rettet handling inde eller inde) og -duktion - introduktion. Det skal bemærkes, at der er to typer - fuldstændig og ufuldstændig induktion. En komplet form er karakteriseret ved konklusioner trukket fra studiet af alle objekter i en bestemt klasse.

Ufuldstændig - konklusionerne anvendte på alle fag i klassen, men baseret på undersøgelsen af ​​kun få enheder.

Komplet matematisk induktion - indledning,baseret på den generelle konklusion om hele klassen af ​​objekter, der er funktionelt forbundet med forholdet mellem et naturligt antal tal på grundlag af kendskab til denne funktionelle forbindelse. Bevisprocessen går gennem tre faser:

• den første beviser rigtigheden af ​​positionen af ​​matematisk induktion. Eksempel: f = 1, dette er grundlaget for induktion;
• Den næste fase er baseret på antagelsen af ​​positionens gyldighed for alle naturlige tal. Det vil sige, f = h, dette er induktionshypotesen;
• retfærdighed er bevist i tredje fasepositionerne for tallet f = h + 1 på basis af rigtigheden af ​​positionen i det foregående afsnit er et induktionstrin eller et trin i matematisk induktion. Et eksempel er det såkaldte "domino-princip": hvis den første knogle falder i træk (basis), falder alle knoglerne i træk (overgang).

Og for sjov og alvorligt

For enkelhedens opfattelse udsættes eksempler på løsningen ved hjælp af matematisk induktionsmetode i form af sjovproblemer. Sådan er opgaven "høflig linje":

• Adfærdskodekser forbyder en mand at besætteen kø foran en kvinde (i en sådan situation er hun tilladt foran). Baseret på denne erklæring, hvis den sidste person i køen er en mand, så er resten alle mænd.

Et slående eksempel på metoden til matematisk induktion er problemet med "dimensionless flight":

• Det er påkrævet at bevise, at minibussen er placeretethvert antal mennesker. Det er rigtigt, at en person kan indkvarteres inde i et køretøj uden problemer (grundlag). Men uanset hvordan minibussen er fyldt, vil 1 passager altid passe ind i det (induktionstrin).

Kendte kredse

Eksempler på at løse metoden til matematisk induktion af problemer og ligninger er ret almindelige. Som en illustration af denne tilgang kan vi overveje følgende problem.

tilstand: h er placeret på et cirkelplan. Det er påkrævet at bevise, at ved et hvilket som helst arrangement af figurerne kan kortet der er dannet af dem, være korrekt malet med to farver.

Løsningen: for h = 1 er sandheden af ​​erklæringen indlysende, så beviset vil blive konstrueret for antallet af cirkler h + 1.

Lad os antage, at erklæringen gælder forethvert kort, og på planet h + 1 cirkler er givet. Ved at fjerne en af ​​cirklerne fra totalen, kan du få et kort, der er rigtigt farvet med to farver (sort og hvid).

Når du gendanner en fjerncirkel, ændresfarven på hvert område til modsat (i dette tilfælde inde i cirklen). Det viser sig, at kortet er korrekt malet i to farver efter behov.

Eksempler med naturlige tal

Nedenstående illustrerer anvendelsen af ​​metoden for matematisk induktion.

Løsningseksempler:

Bevis at for enhver h er følgende ligestilling sand:

1²+2²3²+ ... + h²= h (h + 1) (2h + 1) / 6.

opløsning:

1. Lad h = 1 og derefter:

R₁= 1²= 1 (1 + 1) (2 + 1) / 6 = 1

Heraf følger, at for h = 1 er påstanden korrekt.

2. Forudsat at h = d, får vi ligningen:

R₁= d²= d (d + 1) (2d + 1) / 6 = 1

3. Hvis vi antager h = d + 1, får vi:

R_{d + 1}= (d + 1) (d + 2) (2d + 3) / 6

R_{d + 1}= 1²+2²3²+ ... + d²+ (d + 1)²= d (d + 1) (2d + 1) / 6 + (d + 1)²= (d (d + 1) (2d + 1) +6 (d + 1)²) / 6 = (d + 1) (d (2d + 1) +6 (k + 1)) / 6 =

(d + 1) (2d²+ 7d + 6) / 6 = (d + 1) (2 (d + 3/2) (d + 2)) / 6 = (d + 1) (d + 2) (2d + 3) / 6.

Således er gyldigheden af ​​ligheden for h = d + 1 bevist, derfor er udsagnet sandt for ethvert naturligt tal, som vist i eksemplet om løsning af matematisk induktion.

opgave

tilstand: kræver bevis for, at for enhver værdi af h udtryk 7^h-1 er delt med 6 uden rest.

Løsningen:

1. Antag h = 1, i dette tilfælde:

R₁= 7¹-1 = 6 (dvs. delelig med 6 uden rest)

Derfor, for h = 1 er påstanden sand;

2. Lad h = d og 7^d-1 er divideret med 6 uden resten;

3. Beviset for erklæringen for h = d + 1 er formlen:

R_d1= 7^d1-1 = 7 ∙ 7^d-7 + 6 = 7 (7^d-1) +6

I dette tilfælde er den første tilføjelse divideret med 6 under antagelse af første afsnit, og den anden tilføjelse er 6. Påstanden om, at 7^h-1 er delelig med 6 uden en rest for enhver form for naturlig h - sandt.

Fejlagtigheden af ​​dommen

Ofte i bevis bruge den forkertebegrundelse på grund af unøjagtigheden af ​​de anvendte logiske konstruktioner. Dette sker hovedsageligt i strid med strukturen og logikken af ​​beviser. Et eksempel på ukorrekt begrundelse er en sådan illustration.

opgave

tilstand: kræver bevis for, at enhver bunke af sten ikke er en håndfuld

Løsningen:

1. Antag at h = 1, i dette tilfælde er der 1 sten i bunken og erklæringen er sand (basis);

2. Antag at ved h = d er det sandt, at en bunke sten ikke er en håndfuld (antagelse);

3. Lad h = d + 1, hvorfra det følger, at at tilføje en mere sten vil ikke gøre sætet en håndfuld. Dette tyder på, at antagelsen er gyldig for alle naturlige h.

Fejlen ligger i, at der ikke er nogen definition af, hvor mange sten der danner en bunke. En sådan udeladelse kaldes en hastig generalisering i metoden til matematisk induktion. Et eksempel på dette klart viser.

Induktion og logikens love

Historisk set "eksempler på induktion og fradrag" går hånd i hånd. " Sådanne videnskabelige discipliner som logik, filosofi beskriver dem i form af modsætninger.

Fra synspunktet af loven om logik i induktivtDefinitioner kan ses på baggrund af fakta, og lokaliteternes rigtighed afgør ikke rigtigheden af ​​den resulterende erklæring. Ofte opnås der konklusioner med en vis sandsynlighed og plausibilitet, som naturligvis skal verificeres og bekræftes af yderligere undersøgelser. Et eksempel på induktion i logik er erklæringen:

I Estland - tørke i Letland - tørke i Litauen - tørke.

Estland, Letland og Litauen er de baltiske lande. I alle de baltiske lande tørke.

Fra eksemplet kan vi konkludere, at de nye oplysningereller sandhed kan ikke opnås ved induktionsfremgangsmåden. Alt der kan regnes med er en mulig sandsynlighed af konklusionerne. Endvidere garanterer sandheden af ​​pakken ikke de samme konklusioner. Denne omstændighed betyder imidlertid ikke, at induktion forbliver på fradragsrammerne: mange bestemmelser og videnskabelige love understøttes ved hjælp af induktionsmetoden. Et eksempel er den samme matematik, biologi og andre videnskaber. Dette skyldes hovedsagelig metoden for fuld induktion, men i nogle tilfælde er delvis gældende.

Den respektable alder af induktion tillod det at trænge ind i næsten alle områder af menneskelig aktivitet - det er videnskab og økonomi og hverdagens konklusioner.

Induktion i det videnskabelige miljø

Induktionsmetoden kræver et omhyggeligt forhold,da alt for meget afhænger af antallet af undersøgte detaljer af hele: jo større antal studeres, desto mere pålidelige er resultatet. Ud fra denne funktion kontrolleres de videnskabelige love, der opnås ved induktionsmetoden, i temmelig lang tid på niveau med probabilistiske antagelser til isolering og undersøgelse af alle mulige strukturelle elementer, bindinger og påvirkninger.

I videnskab er induktionens inference baseret påvæsentlige træk, med undtagelse af tilfældige bestemmelser. Denne kendsgerning er vigtig i forbindelse med videnskabens særlige forhold. Dette ses tydeligt i eksemplerne på induktion i videnskab.

Der er to typer induktion i den videnskabelige verden (i forbindelse med studiet):

1. induktionsselektion (eller udvælgelse);
2. induktion - en undtagelse (eliminering).

Den første type kendetegnes ved metodisk (omhyggelig) prøveudtagning af klasse (underklasser) fra forskellige områder af den.

Et eksempel på induktionen af ​​denne type er følgende: sølv (eller sølvsalte) renser vand. Konklusionen er baseret på langsigtede observationer (en slags udvælgelse af beviser og refutations - udvælgelse).

Den anden slags induktion bygger på konklusionerneetablering af årsagssammenhænge og udelukkelse af omstændigheder, der ikke svarer til dens egenskaber, nemlig universalitet, overholdelse af tidssekvens, nødvendighed og unikhed.

Induktion og fradrag fra filosofiens perspektiv

Hvis du ser på den historiske retrospektiv,Udtrykket "induktion" blev først nævnt af Socrates. Aristoteles beskrev eksempler på induktion i filosofi i en mere omtrentlig terminologisk ordbog, men spørgsmålet om ufuldstændig induktion forbliver åben. Efter forfølgelsen af ​​Aristoteles syllogismen blev den induktive metode anerkendt som frugtbar og den eneste mulige metode i naturvidenskaben. Bacon betragtes som faren for induktion som en selvstændig særlig metode, men han var ikke i stand til at adskille, som samtidige krævede, induktion fra deductiv metode.

Yderligere udvikling af induktion involveret J. Mill, der betragtede induktionsteori ud fra fire hovedmetoder: aftale, forskel, rester og tilsvarende ændringer. Ikke overraskende, til dato er disse metoder, når de undersøges i detaljer, deductive.

Bevidsthed om fejlen i teorierne fra Bacon og Millledede forskere til at undersøge det sandsynlige grundlag for induktion. Dette var dog ikke uden ekstremer: forsøg blev gjort for at reducere induktion til sandsynlighedsteori med alle de følgevirkninger der følger.

Stemmen om tillid induktion kommer til en praktiskanvendelse på bestemte emneområder og på grund af metriske nøjagtigheden af ​​den induktive base. Et eksempel på induktion og fradrag i filosofi kan betragtes som loven om universel aggression. På datoen for lovens opdagelse kunne Newton bekræfte det med en nøjagtighed på 4 procent. Og når kontrol efter mere end to hundrede år har korrekthed blevet bekræftet op til 0,0001 procent, selvom checken blev udført af de samme induktive generaliseringer.

Den moderne filosofi betaler mere opmærksomhedfradrag, der dikteres af det logiske ønske om at hidrøre fra den allerede kendte ny viden (eller sandhed) uden at ty til erfaring, intuition, men i form af "ren" ræsonnement. Ved adressering af de sande lokaler i deductiv metode i alle tilfælde er output en sand sætning.

Denne meget vigtige egenskab bør ikkeoverskygge værdien af ​​den induktive metode. Da induktion, baseret på erfaringerne fra erfaringer, bliver midlerne til dets behandling (herunder generalisering og systematisering).

Anvendelsen af ​​induktion i økonomi

Induktion og fradrag er længe blevet brugt som metoder til at undersøge økonomien og forudsige dens udvikling.

Spektret for anvendelse af induktionsmetoden er tilstrækkeligtbred: en undersøgelse af gennemførelsen af ​​prognoseindikatorer (overskud, afskrivninger mv.) og den samlede vurdering af virksomhedens tilstand dannelsen af ​​en effektiv politik til fremme af en virksomhed baseret på fakta og deres indbyrdes forhold.

Den samme induktionsmetode anvendes i "Shewhart-kortene", hvor det antages at adskille processer til kontrollerbar og ukontrollabel, det hævdes, at rammen af ​​den kontrollerede proces ikke er meget mobil.

Det skal bemærkes, at videnskabelige loveunderbygget og støttet af induktionsmetoden, og da økonomi er en videnskab, der ofte bruger matematisk analyse, risikotema og statistiske data, er det ikke overraskende, at tilstedeværelsen af ​​induktion i listen over grundlæggende metoder.

Et eksempel på induktion og fradrag i økonomi kantjene følgende situation. Stigningen i prisen på fødevarer (fra forbrugerkurven) og væsentlige varer presser forbrugeren til at tænke over de stigende leveomkostninger i staten (induktion). Samtidig er det muligt at udlede prisvækstindekser for visse varer eller kategorier af varer (fradrag) fra de høje priser ved hjælp af matematiske metoder.

Ofte refererer til induktionsmetodenledende medarbejdere, ledere, økonomer. For at kunne forudsige med tilstrækkelig sandhed er virksomhedens udvikling, markedsadfærd, virkningerne af konkurrencen, en induktiv deduktiv tilgang til analyse og behandling af oplysninger nødvendig.

Et godt eksempel på induktion i økonomi med henvisning til fejlagtige vurderinger:

• selskabets overskud faldt med 30%
  et konkurrerende selskab har udvidet sin produktlinje
  intet andet er ændret
• en konkurrerende virksomheds produktionspolitik var årsagen til at reducere overskuddet med 30%
• Derfor er den samme produktionspolitik påkrævet.

Et eksempel er en farverig illustration af, hvordan den uhensigtsmæssige anvendelse af induktionsmetoden bidrager til en virksomheds ødelæggelse.

Fradrag og induktion i psykologi

Da der er en metode, så logisk,korrekt organiseret tænkning finder sted (for at bruge metoden). Psykologi som en videnskab, der studerer mentale processer, deres dannelse, udvikling, sammenkoblinger, interaktioner, lægger vægt på "deduktiv" tænkning, som en af ​​formerne for fradrag og induktion. Desværre er der på siderne af psykologi på internettet praktisk taget ingen begrundelse for integriteten af ​​den deduktive induktive metode. Selvom professionelle psykologer ofte står over for manifestationer af induktion, eller rettere, fejlagtige konklusioner.

Et eksempel på induktion i psykologi, som illustrationerfejlagtige domme kan være udsagnet: min mor bedrager, derfor er alle kvinder løgnere. Endnu mere kan findes "fejlagtige" eksempler på induktion fra livet:

• den studerende er ikke i stand til noget, hvis han fik en deuce i matematik;
• han er en fjols;
• han er klog;
• Jeg kan gøre noget;

- og mange andre evaluerende domme afledt af absolut tilfældige og til tider ubetydelige meddelelser.

Det skal bemærkes: Når fejlen i en persons domme når udgangspunktet for absurditet, fremgår psykologens front på arbejdet. Et eksempel på induktion ved en specialudnævnelse:

"Patienten er helt sikker på at farven rødtbærer ham kun fare i enhver manifestation. Som følge heraf har en person udelukket et givet farveskema fra sit liv - så vidt muligt. Derhjemme er der masser af muligheder for komfortabel levevis. Du kan fravælge alle de røde genstande eller udskifte dem med analoger lavet i et andet farveskema. Men på offentlige steder, på arbejde, i butikken - er det umuligt. At komme ind i en stressituation oplever patienten hver gang en "tidevand" af helt forskellige følelsesmæssige tilstande, hvilket kan være farligt for andre. "

Dette eksempel på induktion og ubevidst,kaldet "faste ideer". Hvis dette sker for en mentalt sund person, kan du tale om manglen på organisering af mental aktivitet. Elementær udvikling af deductiv tænkning kan blive en måde at slippe af med obsessive tilstande. I andre tilfælde arbejder psykiatere sammen med sådanne patienter.

Eksemplerne på induktion tyder på, at "lovens uvidenhed er ikke fritaget for konsekvenserne (fejlagtige domme)."

Psykologer, der arbejder på emnet deduktivt tænkning, lavede en liste med anbefalinger designet til at hjælpe folk med at beherske denne metode.

Det første punkt er løsningen af ​​problemer. Som du kan se, kan form for induktion, som anvendes i matematik, betragtes som "klassisk", og brugen af ​​denne metode bidrager til "disciplinen" af sindet.

Den næste betingelse for udvikling af deductiv tænkninger udvidelsen af ​​horisonter (som tydeligvis synes klart). Denne henstilling retter de "ramte" til videnskabs- og informationshemmet (biblioteker, hjemmesider, uddannelsesinitiativer, rejser osv.).

Nøjagtighed er den næste anbefaling. Det er tydeligt set fra eksemplerne på at anvende induktionsmetoder, at det er hun, der i mange henseender er en garanti for sandheden af ​​udsagn.

De oversvandt ikke sindets fleksibilitet, hvilket indebærer muligheden for at anvende forskellige måder og metoder til løsning af problemet, samt at tage højde for begivenhedernes variabilitet.

Og selvfølgelig observation, som er den vigtigste kilde til akkumulering af empiriske erfaringer.

Vi skal også nævne den såkaldte"Psykologisk induktion." Dette udtryk, men sjældent, kan findes på internettet. Alle kilder giver ikke mindst en kort formulering af definitionen af ​​dette udtryk, men henviser til "livseksempler", samtidig med at man giver et forslag, nogle former for mental sygdom eller ekstreme tilstande af den menneskelige psyke som en induktion. Af alle ovenstående er det klart, at et forsøg på at udlede et "nyt udtryk", der bygger på falske (ofte ikke svarer til virkeligheden) forudsætninger, fordømmer eksperimentøren for at modtage fejlagtige (eller hastige) udsagn.

Det skal bemærkes, at henvisningen til forsøgene1960 (uden at specificere lokalet, eksperimenternes navne, prøven af ​​emner og vigtigst af eksperimentets formål) ser det ud til at være mildt overbevisende, og udsagnet om, at hjernen opfatter information, omgå alle opfattelsesorganer (udtrykket "påvirkes" i dette tilfælde ville passe mere organisk), får dig til at tænke på troværdigheden og ukritiskheden af ​​forfatteren af ​​erklæringen.

I stedet for at afslutte

The Queen of Sciences - Matematik, ikke for ingenting, der bruger alleMulige reserver af induktions- og fradragsmetoden. De betragtede eksempler gør det muligt at konkludere, at overfladisk og ufuldkommen (tankeløs, som de siger), at brugen af ​​selv de mest nøjagtige og pålidelige metoder altid fører til fejlagtige resultater.

I massebevidstheden er fradragsmetoden forbundet med den berømte Sherlock Holmes, som i sine logiske konstruktioner ofte bruger eksempler på induktion ved hjælp af fradrag i de rigtige situationer.

Artiklen undersøgte eksempler på anvendelsen af ​​disse metoder i forskellige videnskaber og sfærer af menneskelig aktivitet.