Grundlag for matematisk analyse. Hvordan finder man derivatet?
Derivatet af en funktion f (x) i betonenpunktet x0 er grænsen for forholdet mellem forøgelsen af funktionen og forøgelsen af argumentet, forudsat at x følger til 0, og grænsen eksisterer. Derivatet betegnes sædvanligvis af en prime, nogle gange ved et punkt eller gennem en differentieret. Ofte er en rekord trukket over grænsen vildledende, da en sådan repræsentation bruges ekstremt sjældent.
En funktion, der har et derivat i en bestemtpunkt x0, det er sædvanligt at kalde det differentierbart på et sådant punkt. Antag at D1 er sæt af punkter, hvor f er differentieret. Ved at tildele hvert nummer antallet x, der hører til Df '(x), opnår vi en funktion med domænet af notationen D1. Denne funktion er derivatet af y = f (x). Det betegnes som f '(x).
Derudover er derivatet bredt anvendt ifysik og teknik. Lad os overveje det enkleste eksempel. Materialepunktet bevæger sig direkte langs koordinataksen, hvor bevægelsesloven gives, dvs. koordinatet x af dette punkt er den kendte funktion x (t). I løbet af tidsintervallet fra t0 til t0 + t er lig med forskydningen af punktet x (t0 + t) -x (t0) = x, og dens gennemsnitlige hastighed v (t) lig med x / t.
Sommetider er bevægelsens karakter repræsenteret på en sådan måde, at nårsmå tidsintervaller ændres gennemsnitshastigheden ikke, hvilket betyder, at bevægelsen anses for at være mere ensartet med større grad af nøjagtighed. Alternativt gennemsnitshastigheden, hvis t0 følger til nogle helt præcise værdi, og omtales som den øjeblikkelige hastighed v (t0) det punkt på et bestemt tidspunkt t0. Det antages, at den øjeblikkelige hastighed v (t) er kendt for enhver differentieret funktion x (t), på hvilket v (t) er lig med x '(t). Simpelthen sagt, hastighed er derivatet af tidskoordinaten.
Den øjeblikkelige hastighed har både positiv ognegative værdier, og værdien 0. Hvis det er på et bestemt tidsinterval (t1; t2) er positiv, det punkt bevæger sig i samme retning, dvs., x (t) koordinere øges med tiden, mens hvis v (t) er negativ, koordinaten x (t) falder.
I mere komplekse tilfælde bevæger punktet sig i et plan eller i rummet. Så er hastigheden en vektormængde og bestemmer hver af koordinaterne af vektoren v (t).
På samme måde kan man sammenligne med accelerationenbevægelsespunkt. Hastighed er en funktion af tiden, det vil sige v = v (t). Og derivatet af en sådan funktion er bevægelse acceleration: a = v '(t). Det viser sig, at afledt af hastigheden i forhold til tiden er en acceleration.
Antag at y = f (x) er differentieretfunktion. Så kan vi overveje bevægelsen af et materialepunkt langs koordinatlinjen, som forekommer bag loven x = f (t). Det mekaniske indhold af derivatet gør det muligt at præsentere en visuel fortolkning af forskellene i differentierede beregninger.
Hvordan finder man derivatet? At finde derivatet af en funktion kaldes dets differentiering.
Vi vil give eksempler på hvordan man finder den afledte funktion:
Derivatet af en konstant funktion er lig med nul; derivatet af funktionen y = x er lig med en.
Og hvordan finder man den afledte fraktion? For at gøre dette skal du overveje følgende materiale:
For enhver x0 <0 har vi
y / x = -1 / x0 * (x + x)
Der er flere regler for at finde et derivat. nemlig:
Hvis funktionerne A og B differentieres ved punktet x0,så er deres sum differentieret ved punktet: (A + B) '= A' + B '. Kort sagt er derivatet af en sum lig med summen af derivaterne. Hvis funktionen differentieres på et tidspunkt, går dens stigning til nul, når argumentforhøjelsen er nul.
Hvis funktionerne A og B differentieres ved punktet x0,så er deres produkt differentieret ved punktet: (A * B) '= A'B + AB'. (Værdierne af funktionerne og deres derivater beregnes ved punktet x0). Hvis funktionen A (x) differentieres i punkt x0, og C - konstant, så CA funktionen differentieres på dette punkt, og (CA) '= CA'. Det vil sige, at en sådan konstant faktor tages som et tegn på derivatet.
Hvis funktioner A og B er differentieret punkt x0, og funktionen B ikke er lig med nul, så deres forhold også differentieres på: (A / B) '= (A'B-AB') / B * B.
